暇潰し問題・解答集（１）
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＜＜＜解答集１＞＞＞
【解答１】
移動した者を赤く色付けする。
| 父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ |
→ |
召使・犬 |
| 父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ・召使 |
← |
犬 |
| 父・母・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ |
→ |
娘Ａ・召使・犬 |
| 父・母・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
← |
娘Ａ |
| 母・息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
→ |
父・娘Ａ・娘Ｂ |
| 父・母・息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
← |
娘Ａ・娘Ｂ |
| 息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
→ |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ |
| 母・息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
← |
父・娘Ａ・娘Ｂ |
| 母・息子Ａ・息子Ｂ |
→ |
父・娘Ａ・娘Ｂ・召使・犬 |
| 父・母・息子Ａ・息子Ｂ |
← |
娘Ａ・娘Ｂ・召使・犬 |
| 息子Ａ・息子Ｂ |
→ |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・召使・犬 |
| 母・息子Ａ・息子Ｂ |
← |
父・娘Ａ・娘Ｂ・召使・犬 |
| 息子Ｂ |
→ |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・召使・犬 |
| 息子Ｂ・召使・犬 |
← |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ |
| 犬 |
→ |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ・召使 |
| 召使・犬 |
← |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ |
|
→ |
父・母・娘Ａ・娘Ｂ・息子Ａ・息子Ｂ・召使・犬 |
【解答２】
∠ABC＝∠DCB＝80度
→ 三角形EBC は二等辺三角形
ここで、二等辺三角形EBC 内に２つの正三角形が出来るように、補助線BF および
補助線AF を引く。
三角形AFG および 三角形BCG は、共に正三角形。
ここより、以下の三角形の特性を用いて解く。
（１）三角形の内角の和は180度
（２）２辺の長さが同じであるか、または２角が同じ角度であれば、二等辺三角形になる。その逆も真。
三角形BCD は、∠DBC＝∠CDB＝50度
→ 辺BC＝辺CD
正三角形BCG
→ 辺BC＝辺CG
つまり、辺CD＝辺CG なので、三角形CDG は二等辺三角形
→ ∠CGD＝∠CDG＝80度
∠FGD＝180度−（∠CGD＋∠BGC）＝40度
∠DFG＝180度−（∠FCB＋∠GBC）＝40度
→ 三角形FDG は二等辺三角形
→ 辺DF＝辺DG
よって、三角形AGD≡三角形AFD（≡とは全く同じという意味）
χ＝∠GAD＝∠FAD＝３０度……（答え）
【解答３】
「あっちの鬼に聞いたら地獄はどっちって言いますか？」……（答え）
他にも、「あっちの鬼に聞いたら右が地獄って言ったけど本当？」ｅｔｃ．
【解答４】
まず、１２個の重りを４個ずつ３グループに分ける。そして、天秤の右と左に４個ずつ乗せて、その傾きを見る。
＜簡単なパターン＞
@．左右が釣り合った場合
秤に乗せてない４個（この中に変な重りがある）の中から１個ずつを秤の左右に乗せる。
@−１．@がまた釣り合った場合
秤に乗せた重りの片方はそのままで、もう片方をまだ秤に乗せてない２個（このどちらかが変な重り）の中のどちらかと換える。
@−１−１．再び釣り合った場合
……まだ乗せてない１つが答えの重り。
@−１−２．釣り合わなかった場合
……今、新たに乗せた重りが答えの重り。
@−２．@の結果が釣り合わなかった場合
秤の上の片方の重りをまだ秤に乗せてないものと換える。
@−２−１．釣り合った場合
……@−２で秤から下ろした重りが答えの重り。
@−２−２．傾きが@−２と変わらなかった場合
……@−２で下ろさなかった重りが答えの重り。
＜面倒なパターン＞
A．最初４個ずつを乗せた段階でいきなり傾いた場合
重い側の４個の中の1つと軽い側の４個の中の１つを秤から下ろす。更に、重い側の別の１つと軽い側の別の１つを交換し、重い側のまた別の１つの重りをまだ秤に乗せてない重りの１つと交換する。
A−１．Aが釣り合った場合
Aで秤から下ろした重りは３つ。重い側から２個と軽い側から１個。その中の重い側から取った２個を秤に乗せて比べてみる。この２つは、重い方から取ったものなので……
A−１−１．釣り合った場合
……軽い側から取ったものが答えの重り。
A−１−２．釣り合わなかった場合
……重い方が答えの重り。
A−２．Aと傾きが変わらなかった場合
Aで動かしてない重りは、重い側１つと軽い側２つ。その中の軽い側の２個を秤に乗せて比べてみる。
A−２−１．釣り合った場合
……重い側の重りが答えの重り。
A−２−２．釣り合わなかった場合
……軽い側の重りが答えの重り。
A−３．Aで傾きが逆転した場合
Aで秤の反対の皿に移動した重りは、重い側から軽い側へ行った１つと、軽い側から重い側へ行った１つの計２つ。このどちらかが答えの重り。言い換えれば、それ以外の重りは普通の重り。入れ換えをした２個のうちの片方を、普通の重りのどれかと秤で比べてみる。
A−３−１．釣り合った場合
……入れ換えを行って、A−３で秤に乗せなかった方の重りが答えの重り。
A−３−２．釣り合わなかった場合
……片方は普通の重りだから、入れ換えを行って、A−３で秤に乗せた方の重りが答えの重り。
──以上、どんなパターンでも３回で測ることが可能。……（答え）
【解答５】
※注意：この問題には答えが「１／２」「１／３」「１／４」の３通り用意されています。どの解答が正しいのか分かりません。
＜解答１＞
図１のように、水平な直線をランダムに引きます。
直線が円Ｂに入るとき、円Ａにも入る確率は半径の比になるので、１／２……（答え）
水平な直線でなく、図２のように任意に傾けて考えても同様なので、ランダムに引いたあらゆる直線を包含する証明です。
＜解答２＞
今度は直線と円Ｂの接点ｏに着目してみます。
半径が１：２の２つの円には赤で示した正三角形が存在します。（円Ａに外接し、円Ｂに内接しています）
接点ｏからランダムにｏａ、ｏｂ、ｏｃ……と、直線を引きます。
直線が円Ｂに入るとき、円Ａにも入る確率は角度の比になるので、60度／180度＝１／３……（答え）
接点ｏを円周上のどこに設定しても成り立つので、ランダムに引いたあらゆる直線を包含する証明です。
＜解答３＞
図４のように任意に引かれた直線が円Ｂと交わると交点Ｅ、Ｆが出来ます。
線分ＥＦは弓形の弦になりますが、直線が円Ａに入るかどうかは、中点Ｄが入るかどうかで置き換えて考えることができます。
ランダムに点を発生させたときに内側の円Ａに入る確率は円の面積の比になります。よって、１／４……（答え）
＜追加解説＞
２００１年２月１９日に、ＡＳＯさんより画期的な解説メールを頂いたので、ここでご紹介します。
【暇潰し問題】の「問題５：直線が円を通る確率」は、＜解答１＞が多分正しいと思います。
パソコンで、それこそ暇潰しに、
(-1000...1000, -1000...1000)上の２点を乱数で選んで直線を作り、その直線と原点の距離が２以下のときに、かつ１以下の個数を数える
という方法を１００万回繰り返し、出た結果が約０．５５でした。
円の半径を２：３にすると約０．６６となったので、まず間違いないと思います。
多分＜解答２＞は同じ直線をダブルカウントしてしまっており、＜解答３＞は中点の存在確率分布が一様では無い（原点に近いほど中点になる確率が高いです。これも１００万回のランダム試行で確かめました）ために、間違っているのだと思います。
素晴らしい解説、本当にありがとうございました！ コンピュータとは、計算機──まさしく、こういう時にチョチョイとプログラムを組んで実験結果を得るために存在するもの。「ＡＳＯさんのような方がＰＧとかに向いているんだろうなぁ……」と別の意味でも感服してしまった出来事でした。
【解答６】
「＋」に「／」を加えて「４」にして、下記の式にする。
【解答７】
「１８８」の真ん中に「──」を加えて、「１００／１００（＝１）」にして、下記の式にする。
【解答８】
解答はほんの１例です。（難易度は５が難しくて、次に４……かな？）
１＝（４＋４）÷（４＋４）
２＝４÷４＋４÷４
３＝（４＋４＋４）÷４
４＝（４−４）÷４＋４
５＝（４×４＋４）÷４
６＝（４＋４）÷４＋４
７＝４＋４−４÷４
８＝（４＋４）÷４×４
９＝４÷４＋４＋４
【解答９】
まず、１〜１５の内の５つの玉を使用して１〜２１を作るためには、以下の数の組み合わせの候補が挙げられる。（１、２を作るためには１、２の玉が必須であることから、数の組み合わせは簡単に絞り込みが出来る）
| 1,2,3,4,11 |
1,2,3,5,10 |
1,2,3,6,9 |
1,2,3,7,8 |
1,2,4,6,8 |
1,2,4,5,9 |
各組み合わせから、玉１つで数を作れる場合と玉４つで数を作れる場合は、並び順（隣接関係）を考慮しなくて良いので、他の組み合わせがあってもこちらを優先し、並び順の検討の際には無視する。（文字を灰色にする）
また、玉を２つもしくは３つ使用しての組み合わせが１通りしかない場合は、必ずその構成要素の玉は隣接していなければいけないので、注目する。（文字を赤色にする） この赤の組み合わせがすべて成立するように並べる。
|
1,2,3,4,11 |
1,2,3,5,10 |
1,2,3,6,9 |
1,2,3,7,8 |
1,2,4,6,8 |
1,2,4,5,9 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1+2 |
1+2 |
| 4 |
4 |
1+3 |
1+3 |
1+3 |
4 |
4 |
| 5 |
1+4
2+3 |
5 |
2+3 |
2+3 |
1+4 |
5 |
| 6 |
2+4
1+2+3 |
1+5
1+2+3 |
6 |
1+2+3 |
6 |
1+5
2+4 |
| 7 |
3+4
1+2+4 |
2+5 |
1+6 |
7 |
1+6
1+2+4 |
2+5
1+2+4 |
| 8 |
1+3+4 |
3+5
1+2+5 |
2+6 |
8 |
8 |
1+2+5 |
| 9 |
2+3+4 |
1+3+5 |
9 |
1+8
2+7 |
1+8
1+2+6 |
9 |
| 10 |
1+2+3+4 |
10 |
1+9
1+3+6 |
2+8
3+7
1+2+7 |
2+8
4+6 |
1+9
1+4+5 |
| 11 |
11 |
1+2+3+5 |
2+9
2+3+6 |
3+8
1+3+7
1+2+8 |
1+2+8
1+4+6 |
2+9
2+4+5 |
| 12 |
1+11 |
2+10 |
1+2+3+6 |
1+3+8
2+3+7 |
4+8
2+4+6 |
1+2+4+5 |
| 13 |
2+11 |
3+10
1+2+10 |
1+3+9 |
1+2+3+7 |
1+2+4+6 |
4+9 |
| 14 |
3+11
1+2+11 |
1+3+10 |
2+3+9 |
1+2+3+8 |
6+8
2+4+8 |
5+9
1+4+9 |
| 15 |
4+11
1+3+11 |
5+10
2+3+10 |
1+2+3+9 |
7+8 |
1+2+4+8 |
1+5+9
2+4+9 |
| 16 |
1+4+11
2+3+11 |
1+2+3+10 |
1+6+9 |
1+7+8 |
2+6+8 |
1+2+4+9 |
| 17 |
1+2+3+11 |
2+5+10 |
2+6+9 |
2+7+8 |
1+2+6+8 |
1+2+5+9 |
| 18 |
1+2+4+11 |
1+2+5+10 |
1+2+6+9 |
1+2+7+8 |
4+6+8 |
4+5+9 |
| 19 |
1+3+4+11 |
1+3+5+10 |
1+3+6+9 |
1+3+7+8 |
1+4+6+8 |
1+4+5+9 |
| 20 |
2+3+4+11 |
2+3+5+10 |
2+3+6+9 |
2+3+7+8 |
2+4+6+8 |
2+4+5+9 |
| 21 |
1+2+3+4+11 |
1+2+3+5+10 |
1+2+3+6+9 |
1+2+3+7+8 |
1+2+4+6+8 |
1+2+4+5+9 |
以上より、赤文字の組み合わせがすべて成立し、残りの組み合わせも成立するのは「1,2,3,5,10」の組みの以下の並び順のときであることが分かる。
……（答え）
【解答１０】
解答は「８」。
解説：上下の□を足した数の「１０の位＝左側の○」「１の位＝右側の○」なので、１４＋「８」＝２２
出題元によると、「所要時間の目安：４０秒」だそうです……。マジ？ 私、３日間かかったよ……？ 右脳力ゼロだな……。
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